Fiddie的回答
评价：
（1）新课标Ⅰ卷和新课标Ⅱ卷比2023年难，比2022年简单；
（2）压轴题总算开始有意思了．
下面解析一下新课标Ⅰ卷和新课标Ⅱ卷第19题：
2024 新课标Ⅰ卷，19
设 
为正整数，数列 是公差不为 0 的等差数列，若从中删去两项 和 () 后剩余的 项可被平均分为 组，且每组的 4 个数都能构成等差数列，则称数列 是 -可分数列．
（1）写出所有的 ，，使数列 是 -可分数列；
（2）当 时，证明：数列 是 -可分数列；
（3）从 中一次任取两个数 和 （），记数列 是 -可分数列的概率为 ，证明：．
分析与解答
（1），， ．
（2）把前14个下标写出来：
这里一共有12个数，尝试把这12个数分成3组数，使得每组数都成等差数列． 可以发现，如下分组，那么每组都是公差为 3 的等差数列．
而可每取4项分为一组，即取
其中，那么每组都是等差数列．
综上，数列 是 -可分数列；
（3）首先我们再作一个观察．根据（1）（2），假如把（2）中的13换成1，那么可以容易验证这个数列是 -可分数列．那能不能验证它是 -可分数列呢？可以．只需把 这8个数分成2组，那么每组都是公差为 2 的等差数列．
余下的数如下分组取：
其中，那么每组都是等差数列．
那能不能验证它是 -可分数列呢？好像不能．所以按照从特殊到一般的思考路径，本题的解答思路就出来了：
（i）当时，
对于 ，我们可以验证这个数列是 -可分数列．
一般地，对，，，应当可以验证这个数列是 -可分数列．我们只需把
分成 组，每组的公差都是 （ 是数列 的公差），如下：
上面每组都不包括 和 ，并且每组都没有重复的下标．
而其它数字可以如下分组：
其中 ，一共 组；
其中 ，一共 组．
这样，就能把原数列分成 组，每组都构成等差数列，上面的分法一共有
再来验证原数列是 -可分数列，其中 ，，．这就比较简单了，只需如下分组：
其中 ，这里共 组；
其中 ，这里共 组；
其中 ，一共 组．
这样，就能把原数列分成 组，每组都构成等差数列，上面的分法一共有
因为从 中选两个数的方法是 种，所以
命题得证．
（ii）当 时，由（1）得
综上，对任意 ，都有 ．
真题链接
教育部这么命题其实早有企图．教育部教育考试院在2018年左右发布了一套“命题标准样题”，
其中，第16题是将解三角形、数列、概率结合的问题，与2024年新课标Ⅰ卷第19题几乎一致：
【命题标准样题，16】
设三角形的边长为不相等的整数，且最大边长为
（1）求数列
（2）在
附：
本题的参考答案如下：
2024 新课标Ⅱ卷，19
已知双曲线 ，点 在 上， 为常数，．按照如下公式依次构造点 ：过 作斜率为 的直线与 的左支交于点 ，令 为 关于 轴的对称点．记 的坐标为 ．
（1）若 ，求 ；
（2）证明：数列 是公比为 的等比数列；
（3）设 为 的面积．证明：对任意正整数 ，．
分析与解答
（1）因为 在 上，所以 ．
过 且斜率为 的直线方程为 ．
由 解得 或 所以 ，．
综上，，．
（2）因为 关于 轴的对称点是 ，而 ， 都在同一条斜率为 的直线上，所以 并且
很自然地，可以想到用“点差法”来得到一些关系式．
因为 ， 都在双曲线上，所以
两式相减，得
由①②得
这时，我们就想到了2019年全国Ⅱ卷的第19题．④③，得
整理得
因此 是公比为 的等比数列．
（3）这题知道了三点的坐标，肯定可以用“鞋带公式”去把面积表示出来．但是先别急着用“鞋带公式”去算！先看看他想让你证什么！他想让你证面积相等！放慢速度，想一想，画一画！
注意到， 和 都有公共边 ．如果我们能证明点 和 到直线 的距离都是相等的，问题就能迎刃而解！
那我们可以猜测：直线 和 的斜率会不会是相等的？如果是的话，那么四边形 构成梯形，图形如下：
所以我们只需集中精力证明：直线 和 的斜率相等，这样就能推出 ．
事实上，记 ，则由 得 ．由（2），
又因为
所以
所以
因为由（2）知 ，所以
另一方面，
因此，
从而直线 与 平行，所以
证明完毕．
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