零度君的回答
（吃坏东西了，肚子疼睡不着，稍微写一点吧）
用广义相对论推导行星公转显然是大材小用了：
在广义相对论的史瓦西解中，测地线方程（自然单位制下）：
其中 为固有时，对于类时测地线
然后，能量和角动量这两个守恒量：
得到：
做换元
可以得到：
继续换元，令，可以得到，整理后可以得到：
对 求导：
显然这一方程如果成立，有：
或
对于（9）来说，相当于轨道半径r与角度无关，即正圆轨道。
对于（10）来说，求解相对较为困难。我们可以采用一个取巧的办法，即在弱场近似的条件下相对论修正项视为小量，此时方程变为：
这个方程的解是：
换元回去：
熟悉不，是不是极坐标下的圆锥曲线方程。 （12）带入回（7）可以得到e的表达式:
以上的结果和牛顿力学结果是一样的。
然后还没有结束：如果认为 ，那么方程（10）其实是可以用均值线性近似的方法解的：
假设： 的均值 满足 ，那么显然有： ,这时候轨道是接近圆的，那么有：
略去其中的高阶项 那么：
好，带入(10)，整理得到：
这个方程是可以解的，他的通解是
(18)就是广义相对论的行星轨道了 ，在只考虑椭圆的前提下（即忽略e≥1的情况），可以看出来尽管行星轨道偏离了椭圆轨道，但是他仍然是仍然是一个有界函数，其取值范围为： ,此时我们可以得到轨道的近日点和远日点距离分别为：
即尽管行星轨道不再是椭圆了，但是他的近日点和远日点的距离没有变化。有变化的是角度，即达到近日点或者远日点的相位，以近日点为例:
注意到(泰勒展开)：
则角度差为：
选几个参数算一下，轨道是这样的。其中红色是牛顿轨道，橙色是相对论轨道。
如果我们继续推下去，则：
以牛顿轨道估计k/h的数值，则可以得到：
即
这就是行星轨道近动了。写成国际单位制就是：
我们可以根据：
水星的远日点距离 ；
离心率e=0.206；
太阳质量：
带入公式(13)计算出水星的角动量
然后带入引力常量
根据公式(25)计算出广义相对论效应导致的：
水星的周期近动为 ，每世纪近动为43.3''
同理可以计算出：
广义相对论效应导致的金星每世纪近动为：8.7''
广义相对论效应导致的地球每世纪近动为：3.8''
广义相对论效应导致的火星每世纪近动为：1.4''
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