关毛的回答
这问题的提问人实际问的是咸海西北的地区，大约是如今哈萨克西部和俄罗斯鞑靼斯坦共和国及其周边区域，结果问题下所有答主都答非所问，没人好好回答。
先说结论：这块区域，在当时大致是可萨汗国的势力范围，所以不受唐朝控制。
因为不受唐朝控制的缘故，古代中国人对可萨汗国记载甚少，甚至到了只记载了个“曷萨”名字外什么都没有的程度，该区域的历史还原全要靠拜占庭、亚美尼亚和阿拉伯史料还原。而题主划出的这个区域，由于离拜占庭、亚美尼亚和阿拉伯都很远，使得这三家史料虽然能基本勾画出可萨汗国在高加索区域的轮廓出来，但也无法说明图中所述区域的实际情况。
而可萨汗国为什么没有被唐朝吞并的原因也很简单，可萨汗国和位于如今阿富汗的吐火罗叶护国，都是西突厥汗国西征的产物，纯粹是西突厥一代雄主统叶护可汗个人主导的功业。西突厥汗国从一诞生就是东突厥汗国的分封产物，可汗头衔也只是小可汗，所以西突厥历代可汗都致力于和东突厥内战，夺取东突厥的最高可汗汗位，使得西突厥在击溃嚈哒人后无力巩固中亚统治，只有这个统叶护可汗，放下了争夺东突厥最高可汗的虚名追求，力主西征，将自己的弟弟加封为叶护，夺取北高加索区域，形成了可萨汗国的雏形；将自己的儿子加封为设，夺取阿富汗，形成了吐火罗叶护国的雏形。
统叶护可汗的西扩战略为大量西突厥贵族不能容，最终死于内讧。统叶护可汗生前西征战略的两个桥头堡，也就相继脱离西突厥汗国，各自形成了独立的霸权势力。
阿富汗的设，是统叶护可汗儿子，他自立为叶护，建立了吐火罗叶护国。
北高加索的叶护，是统叶护可汗的弟弟，自立为小可汗，建立了可萨汗国。
这两个从西突厥脱离的政权，在唐朝灭西突厥后，唐朝由于太过遥远，都没有采取任何招抚措施。而吐火罗叶护国由于受到阿拉伯帝国武力威胁，这才投降唐朝，将阿富汗归入了中国统治。而可萨汗国虽然也和阿拉伯帝国开战，但他们受到的军事威胁要小很多，所以一直没有和唐朝有过多往来。从后突厥碑文和回鹘碑文的只字片语描述，可萨汗国在东方重点外交的对象是后突厥汗国和回鹘汗国。
而至于题主圈出来的这块区域，为什么一般界定是可萨汗国的势力范围呢？
有两个原因。
第一个原因，按照中文文献的记载，和苏联时代考古的印证，西突厥汗国直辖区域都被唐朝统治了，光如今哈萨克斯坦阿拉木图州，唐朝就有热海州、嗢鹿州、特伽州等建置，从唐高宗时期断断续续延续到了安史之乱后才废弃。而唐朝对西突厥的统治也很有趣，那就是西突厥每叛乱一次，唐朝平乱后的统治力度就会加深，而从西突厥全境归唐一直到唐朝因安史之乱废弃西突厥各地都护府，设置都护府和羁縻州的区域，以及无论忠于唐朝的还是反唐的西突厥首领，活动区域基本都在咸海以东，所以当代学者在划定唐朝疆域时，对唐属西突厥区域一般都划到咸海以东。
而至于里海以东其实也有唐朝影响区域，不过这些区域不属于西突厥汗国直辖区域，而是西突厥汗国羁縻的昭武九姓诸国，他们中大部分都归附唐朝了，但因为他们在西突厥时代就不是西突厥直辖区域，我们就不多谈了。
第二个原因，就是按照拜占庭、亚美尼亚和阿拉伯文献的记载，西突厥被唐朝征服后。可萨汗国跟周边其他民族也爆发了战争，对手有萨拉古尔人、库提古尔人、翁乌古尔人、保加尔人、布尔塔斯人、匈人、马扎尔人、斯拉夫人等等。最后可萨突厥取得了胜利，成了区域霸主。所以也就只能不严谨地认为，唐朝控制下西突厥的势力范围的西北区域只有可萨汗国一个强权，那么唐朝势力范围之外的这块区域，也就只有可能是可萨汗国的势力范围了。
而这其中这些乱七八糟的什么“某某古尔、乌古尔”的这些，其实就是早先西迁的铁勒人，突厥人征服过无数次的老冤种了。西突厥灭亡后，第一个跳出来打可萨人的肯定就是这些人，因为西突厥灭亡后，突厥版的黄金家族阿史那家族大部分都是唐朝臣子了，只有可萨汗国的汗是独立自主的，被阿史那家压迫百年的铁勒人不反他还反谁？而可萨汗国这一轮战争绵延数十年，西方史料记载了，而东方史料都没有记载。归根结底，还是因为西突厥直辖部落的极限也就是哈萨克了，唐朝统治西突厥依然还是用的西突厥汗廷的班底，自然也就无力往西延伸了。而哈萨克西部的铁勒人和其他民族要反抗可萨汗国，他们也无法从唐朝谋求盟友，为啥呢，因为唐朝在西突厥区域设置的都护、都督乃至于第一任节度使都兼任藩属可汗，还是阿史那家的。
不过这里我们也多说一句，因为对于羁縻问题，明粉最喜欢出来闹腾，肯定会拿明朝的弱羁縻能力碰瓷唐朝。其实我们说这么一句就行了：唐朝羁縻的西突厥藩属可汗们，有被问罪处死的，有流放海南岛的，有流放岭南的，有因为战事不利被罢免的，还有不肯上任的，当然肯定也有叛乱的。这才叫羁縻。
恰恰就没有大明朝羁縻蒙古那样，除了给岁赏之外啥都没办法的。那叫个屁的羁縻，那叫单相思。
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