DBinary的回答
难的看到的一个非常好的问题。
因为这也是一个困扰了我相当长一段时间的问题，特别是如果你用的是工程数学角度而非数学理论严格证明的角度来看，相信你和我一样会有更多的问号。
但不管怎么样，我们仍然从数学定义上入手
冲激函数 
的定义如下
这一步还是比较好理解,因为冲击函数常常被用于信号采样中,那么怎么采呢,显然的,我们希望采样"1个单位能量"的信号,因此,它对应了区间积分是1
但是我们肯定希望采样这个过程越短越好,因此,我们希望采样时间无穷逼近于0,因此,你可以看到当t不等于0时,delta函数的取值都为0
因此如果你看到下面这种定义
其实也是一个意思,采样1个单位能量的信号,当时间无穷短时, 不就是无穷大嘛.
其实 函数是一个广义的定义,下面这类函数,在极限情况都满足 函数定义
从数学上来看,如果我们使用 函数对原函数进行完整"采样",那么我们就必须证明"采样"后积分必须完整还原出原函数,在这一块<数学物理方法>中也必定有一节会给出其数学证明,这块也不难理解
那么现实工程世界中,我们如何完成这种信号的采样呢,其实和数学上还是有一些"异曲同工"之妙的,因为采样大多数情况往往意味着AD采样,尽管A/D转换器的种类很多，但目前广泛应用的主要有逐次逼近式A/D转换器、双积分式A/D转换器、V/F变换式A/D转换器,Σ-Δ型A/D转换器等等等
其中的多数转换器,其仍然可以用数学中的积分来表示,其数学模型其实就可以视作 函数的定义.
但是,数学上的解释并不能解除我们的疑惑,因为从上层的应用来看,我们从AD上读取一个采样数值,它就"仅仅是一个数值",表示的是一个瞬时的概念,而且也有阈值模型的AD采样器啊积分器并不是必须的
如果我们直接来看就是连续信号在这里被乘以一个"1"(或者我们叫量化),因为其时间无穷短,因此,这些"离散的采样"信号其积分是0,从数学的角度来看,我们是无法直接靠一些能量是0的信号还原出原信号的.
但我们实际在处理信号时，如果我们先抛开采样定理来看，我们是怎么处理的？就比如傅里叶变换，我们判断是否存在某个频率的信号，我们构造了某个频率的正弦波，去乘原信号后积分（检波），也就是说，我们实际上是对信号的包络进行分析，而非仅仅只是离散样本点的分析，尽管离散的样本点没有能量，但是我们匹配用的正弦正交基是有能量概念的，我们基于这个前提并以此还原原信号的组成。
你可以看到，在上面这个情况下，我们强制假设了原信号就是由正弦信号构成，在此前提下再衍生了采样定律，但此方案并非完美方案，同时我们也应该清醒认识到，尽管自然界本质就是一个低通的世界，确实绝大多数信号都可以视作为正弦基的组合构成，但在应用层面正弦模型并非理想模型，例如数字通信中我们更希望拥有理想的方波模型。因此，使用基于正弦基的分析方法在分析此类问题时并不高效，因为我们强制用一个正弦函数去拟合方波，始终会存在频域泄漏问题，而这也衍生了吉布斯效应等一系列问题，当然，如果我们对高频信号采样，现实中我们不可能构造无穷高频去拟合，自然信号的采样，噪声会引入混叠几乎是不可避免的，只能靠后续手段去减轻和避免。
因此最终绕来绕去，简单来说，数学上的冲击采样和工程实际应用的采样，更像是一种“我告诉你要做到什么样，但是具体怎么做你自己决定”的关系
正如 本身就是一个广义的定义，并没有直接给出其具体实现模型，而你在AD采样时，多数时候你也不需要关心AD传感器的数学模型是怎么样的。
你完全可以说，我的 就是在这里乘以一个1，至于后续的处理需如何满足数学方面的定义，那就得看后续我们如何对离散样本的处理方式了。
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